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小球思維實驗:如何思考無窮?

人類的大腦很願意去處理有限數,可一旦碰到無窮這個概念,發生的一切就開始變得完全違背人類的直覺了。
小球思維實驗:如何思考無窮?

無窮就像是數學這件外套上的一個線頭:只要一扯,便發現線頭不但比你想的還長,而且扯到最後外套還特麼散架了,用不了多久你就渾身光溜溜站著,巴不得現在的你能把一地的散線拼回去,繼續開開心心,不去管什麼無窮。

然而,母們不是這種人,母們要抓住這個線頭,母們要走進無窮的概念,母們要真正超越無窮。

要讓一件事情無窮地發生下去其實挺難,姑且先試試吧。首先找一個盒子,再找來許多小球,給小球標上編號1、2、3、4……你猜對了,接下來我們要做的就是按照次序每次放一個小球到盒子裏。不過這裏有個特殊規則,如果拿放進盒子裏的是平方數小球,你就要從盒子裏取出一個該平方數的平方根數字對應的小球,放進抽屜裏或者保險的地方。

問題馬上就來了,1是平方數,可同時也是平方根,那麼我們只能先放進去,然後再拿出來。接下來,開始放2號和3號。當放到4號球後,盒子裏的2號球必須取出放進抽屜。接下來放5號至8號球,放進9號球,取出3號球。

下面問題來了:這樣一直進行下去,盒子裏最後還剩幾號球?抽屜裏又有多少球?

結果公佈:到最後盒子裏一個球也沒有。

為什麼?看似不合邏輯,其實隨著遊戲的推進,盒子裏球的數量會持續上升,每次你有兩種選擇:【放入1顆球】/【放入1顆球,並拿出1顆球】,球的數量要麼增加,要麼保持不變。但是最終所有球都要進抽屜,而不是留在盒子裏。

小球思維實驗:如何思考無窮?

那麼什麼時候盒子裏開始沒有球了呢?

每個數字都有對應的平方數,也就是說每個數字都是平方根數,所以最終所有球都會進放平方根的抽屜裏。你放進盒子的每一隻球,都有與之對應的另一個平方數球,遲早這個平方數球會被放進盒子。你放進去的球最後都會被拿出來。因為沒有什麼數字是大到無法平方的,所以理論上說,盒子是會空的。可是每繼續一次,盒子裏的球都比抽屜裏多啊,這又是怎麼回事?

我們之所以會這麼覺得,因為在我們的認識裏,無窮這個概念就像某個很大很大很大的數,但無窮不是數。無窮在數列裏任何位置都是找不到的,大家似乎有這種想法——順著數列一直往前走,數過十百千萬億,再往前走,再往前走,到最後數字便不再延續下去,就到頭了。在數列的盡頭,有個∞的標誌,意思是說數列到此為止。

才不是這樣咧。每舉一個超超超超大數,都存在一個比之更大的超超超超超大數。無窮不在數列末端,無窮也不是什麼終極大數。

其實無窮是用來衡量數字多少的標尺。數列沒有頭,所以我們說數列無窮長。想像一下所有整數,對,無窮就有這麼大。一旦你停止去追尋數列,轉而思考整數數列;一旦你停止思考某個甚大數,轉而思考所有的數,這個時候盒子就空了。

小球思維實驗:如何思考無窮?

整數有無窮多個,每個整數又是另一個整數的平方根。不要去想放球取球,只需要一步:所有是平方根的數字都去抽屜,所有不是平方根的數字留在盒子裏。最後得出盒子裏一個球也沒有。

我們的問題主要在於從直覺上判斷無窮似乎說不通,而且不知道從何下手。也許是因為我們的大腦不喜歡處理高維度的信息,但至少我們處理低維度信息還湊合。人類的大腦很願意去處理有限數,可一旦碰到無窮這個概念,發生的一切就開始變得完全違背人類的直覺了。理解了有限數也無法理解無窮,就好像能理解3維形狀不一定能理解4維形狀。我們對有限數的鐘愛只能讓我們面對無窮這個概念時產生虛假的安全感。在這個和我們現實世界的真實完全不再有半點聯繫的世界,數學邏輯是指路的唯一嚮導。

不依靠直覺去解決數學問題就好像乘坐潛水艇在海面下航行。回到數學的大森林,直覺能給我們領路,理解周圍的世界。這時數學和我們身邊的世界有直接聯繫。但是一旦下潛到深深的海底,四周便漆黑一片什麼都看不見,走到哪裏也不知道。這個時候現實世界已經消失,進入了純粹的抽像思維世界。在潛水艇裏航行,你只能完全依靠儀器的讀數。同樣,面對無窮,我們也只能用數學結果來領路。如果我們能夠保持一絲不茍的嚴謹精神,對每一步進行驗證,確信從各種數學工具中推斷出的結論,一切都能迎刃而解。 本帖最後由 就是愛八卦 於 2015-1-9 09:40 編輯

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